BLOQUE VI APLICAS FUNCIONES RACIONALES

6.1 FUNCIÓN RACIONAL}

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.¹

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos

Función homográfica:

$f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.²

[editar]Propiedades

Toda función racional es de clase $C^\infty$ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

[editar]Integración de funciones racionales

Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f_i(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma $\scriptstyle F_i(x)$ :

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.

Función racional de grado 2:

$y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$

Función racional de grado 3:

$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$

Función racional

Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Ejemplo

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones

Construcción de hipérbolas

Las hipérbolas

son las más sencillas de representar.

Sus asítontas son los ejes

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a).

Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

2. Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (-b, 0).

Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

3. Traslación oblicua

El centro de la hipérbola es: (-b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4).

Para representar hipérbolas del tipo:

se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.

El centro de la hipérbola es: (-1, 3)

6.2 DOMINIO DE DEFINICION DE UNA FUNCION RACIONAL

Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplos:

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:

donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).

Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

entonces:

1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta y = a_m/b_n, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

Gráfica de funciones racionales

Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.

Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:

Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.

Teorema: Si f es una función definida de la forma:

donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.

Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.

Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.

6.3 ASINTOTAS HORIZONTALES

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.

2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.

1A) Grado del numerador menor al grado del denominador

La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos.

Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal.
En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba.
En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.
OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de abajo.

La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos.
Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.

Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo.
Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

En la gráfica se alcanza a distinguir, que del lado derecho, la función va por encima del eje "x", en cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo.
OJO: Esto tiene implicaciones serias para la función. Después de cruzar la asíntota horizontal, debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y = 0

La función tiene una asíntota horizontal en
y = 0

Los dos límites tienden a cero, si hacemos el estudio, como en el primer problema, vemos que los dos límites se acercan a cero por arriba. (Ver gráfica)

1B) Grado del numerador igual al grado del denominador

Asíntota horizontal en
y = 3

Haciendo la división de polinomios, se llega a:
, y se puede deducir, que la parte fraccionaria:
Suma una cierta cantidad al 3, cuando x tiende a oo, aunque siempre más pequeña.
Resta una cierta cantidad al 3, cuando x tuende a -oo, aunque cada vez más cercana a cero.
Si suma una cierta cantidad, se acerca al 3 por valores mayores que el 3, o sea, por arriba.
Si resta cierta cantidad, se acerca al 3 por valores menores que el 3, por lo tanto, se acerca a la asíntota por abajo.
OJO: A veces las gráficas pueden ser un poco engañosas, ya que la escala es reducida y no se alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede hacer un análisis de cruce con las asíntotas horizontales.

Tiene una asíntota horizontal en y = 2

A la hora de hacer uan división de polinomios, se obtiene una parte entera, que es 2, misma que es la asíntota horizontal.(Esto se debe a que los grados del numerador y denominador, son iguales)
Cabe hacer un análisis de la importancia de los coeficientes de los términos de mayor grado tanto en el numerador como en el denominador.
Nótese que conforme el grado del numerador y el grado del denominador crece, las gráficas son más complejas. Esta gráfica presenta dos asíntotas verticales, una horizontal y dos intersecciones con los ejes.

Funciones no racionales con asíntotas horizontales

La función exponencial:
, tiene una asíntota horizontal unilateral, sólo cuando x tiende a infinito, ya que su límite es 2. Por lo tanto la recta y = 2 es la asíntota horizontal. La gráfica de la función se acerca a la recta y=2, por abajo, ya que siempre se va a restar una cantidad al 2 conforme crezca x. Al calcular los límites hacia más y menos infinito, se puede ver, que no son iguales, que uno tiende a 2 y el otro a menos infinito.
, este primer límite nos dice que hay una asíntota horizontal unilateral, sólo hacia la derecha de la función.
, este límite nos indica, que la función no tiene asíntota horizontal hacia la izquierda, que la función decrece rápidamente. No hay que confundir este hecho con el de una asíntota vertical, ya que la función no la tiene. No hay valor para el cual la función no esté definida.

La función:
, presenta una asíntota horizontal hacia ambos lados de la función.
Esto se debe a que los límites de la función cuando x tiende a más o menos infinito, los dos son cero. Por lo tanto la asíntota horizontal se encuentra en y = 0, o sea, el eje "x". El límite cuando x tiende a más infinito, es:

El límite cuando x tiende a menos infinito, es:

Nótese que la función aparte de tener una asíntota horizontal presenta un máximo y además dos puntos de inflexión, sin los cuales no se podría acercar asintóticamente al eje "x".

La función logarítmica
, tiene, aparte de varias peculiaridades, que habría que analizar posteriormente, una asíntota hrizontal unilateral en y = 0, o sea, el eje "x" funciona con asíntota. Este límite nos dice, que existe esa asíntota horizontal.

Es evidente, que x no puede tender hacia menos infinito, ya que el ln de números negativos no existe.
Así también queda claro, que la función no está definida para ningín valor negativo de x. Tampoco está definida para x = 0. Sólo se puede calcular el límite cuando x tiende a o por la derecha:

6.4 ASINTOTAS VERTICALES

Función

Características de Asíntota Vertical que se cumplen y/o no se cumplen

Existencia de una Asíntota Vertical (A.v.)

1.- En el valor x = 3 la función no está definida.
2.- El límite en x = 3 no existe.
Cuando x se acerca a 3 por la derecha el límite es: infinito
Cuando x se acerca a 3 por la izquierda el límite es: menos infinito.

Por lo tanto la función tiene una Asíntota Vertical en x = 3, o sea, la recta x = 3 es la asíntota a la cual la función se va a acercar indefinidamente sin tocarla nunca.

1.- La función no está definida en dos valores de x, en x = 2 y en x = 4.
2a.- En x = 4 el límite no existe, por la derecha el valor de la función tiende a infinito y por la izquierda el valor de la función tiende a menos infinito.
2b.- en x = 2, el límite sí existe y es -5/2

Por lo tanto, una de las restricciones de dominio es una Asíntota vertical, mientras que la otra, como ya se vio anteriormente es un agujero en la función.
La función tiene una A. v. en x=4, o sea, la recta x = 4 funge como recta a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

A diferencia de los límites anteriores, que no existen, los límites cuando x tiende a 2, sí existen.

por lo tanto, el límite cuando x tiende a 2, sí existe:

La función no está definida en x = 1, pero hay que notar, que esta no definición en el denominador es "doble", ya que el factor (x-1) está elevado al cuadrado.
En x = 1 el límite no existe. Aunque el límite por la derecha y por la izquierda de la función cuando x tiende a 1 es menos infinito, sigue sin existir ese límite.

Dada la tendencia hacia menos infinito en ambos casos, tanto cuando x tiende a 1 por la derecha, como cuando x tiende a 1 por la izquierda, la función tiene una asíntota vertical en x = 1

Es conveniente hacer notar, que este es un caso en que la función cruza la asíntota horizontal, lo cual se verá con más detenimiento en la sección de asíntotas horizontales.

La función no está definida para valores iguales o menores que 4.

La gráfica de la función será únicamente de (-4,oo).
Mostrará una asíntota vertical en x = 4, ya que la función tiende a menos infinito.

Este límite es menos infinito, nos da la tendencia de la función, de decrecer conforme x tienda a 4 por la derecha.

Este límite no se puede calcular, ya que me quiero acercar al 4 por la izquierda y los valores menores a 4 no están en el dominio de la función.

El dominio está restringido a valores de x menores que -1 y mayores que 1.

Tiene dos asíntotas verticales, una en x = -1 y otra en x = 1.
Se nota, que estas asíntotas son unilaterales, ya que la función no tiene definición entre x = -1 y x = 1

El límites cuando x tiende a -1 por la derecha no se puede calcular, así como el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda.

En esta función, como en la anterior hay dos límites que no se pueden calcular, ya que se acerca uno al valor de x con valores que están fuera del dominio.