BLOQUE III. EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS

3.1 MODELO GENERAL DE LAS FUINCIONES POLINOMIALES

La función polinomialse llama así porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio;su forma general es:

Como recordarás de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos

característicasimportantes:

a) El número de términos que la componen.

b) El grado de expresión.

Para entender lo anterior, veamos elsiguiente ejemplo:

5x3

5=coeficiente

x=base, también llamado variable en lasfunciones

3=exponente

Un término estará compuesto de: coeficiente, base(s) o variable(s) y exponente, o simplemente

de una constante. En una expresión algebraica, cada término estará separado porsignos positivos o negativos.

El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes.

3.2 FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

¿Qué es una función polinomial?

Esto depende de los grados de la función.  La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma:

P(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…. + a₀x⁰

Con la nota específica de que N es un nuero real y el coeficiente A no debe ser cero.

La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno.

La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.

                                                        y = m x + b

La función cuadrática:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2

Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:

Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.

Su gráfica es una parábola.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y= ax³ + bx² + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

3.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS.

Las gráficas de las funciones polinómicas de 1º grado f(x)=ax+b son rectas, "cuesta arriba" si a>0 y "cuesta abajo" si a<0, es decir, a determina la pendiente de la recta y b nos da un punto de la recta: el punto de corte con el eje y. Por tanto, el coeficiente de x, a, determina, salvo traslación, la gráfica de f(x)=ax+b. (Ir al cuadro)

.
.		f(x)=ax+b							.
.
.	a+							a-		.
.										.

La representación gráfica de funciones polinómicas de segundo y tercer grado aparece en gran cantidad de ocasiones en matemáticas de bachillerato y primeros cursos de universidad principalmente. Por eso es muy importante tener claro cómo realizarlas. Si bien es cierto que utilizando las aplicaciones de la derivada al estudio de funciones junto con algún que otro detalle podemos realizar de forma sencilla esas representaciones en este artículo voy a explicar cómo podemos hacerlo a partir de los coeficientes del polinomio y alguna cosilla más.

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 2

Las funciones polinómicas de grado 2 son del tipo , con . Sus representaciones gráficas son las famosas parábolas. Hay dos posibles representaciones que dependen del signo de . Son éstas:

                                                                                 

                                                         

Después de conocer qué tipo de parábola tenemos hay que ubicarla en el plano. La que veo como opción más razonable es calcular el vértice de la misma. Este cálculo se realiza de la siguiente forma:

• Coordenada  del vértice: 
• Coordenada  del vértice: 

Con estos datos en muchos casos podemos dibujar la parábola. Si todavía no lo tenemos muy claro lo mejor es calcular un par de puntos dando a  dos valores, uno a la izquierda de  y otro a su derecha y sustituirlos en  para calcular sus coordenadas . Después unimos el vértice con esos puntos con una curva y continuamos la misma hacia el infinito.

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 3

Las funciones polinómicas de grado 3 son del tipo , con . Hay cuatro posibles representaciones gráfica de este tipo de funciones que dependen del signo de  y de la relación entre  y . Por tanto, para poder representarlas debemos tener en cuenta sus coeficientes. Os dejo una tabla con las cuatro gráficas posibles:

                                                                                                                          

                                            

                                                                                   

                                                                                                                    

                                                                                                                                                                  

Este tipo de funciones tienen un punto de inflexión, es decir, un punto donde la curvatura de la función cambia, esto es, la función antes del punto se curva de una forma y pasa acurvarse de otra. El punto donde ocurre ese hecho se calcula de la siguiente forma:

• Coordenada  del punto de inflexión: 
• Coordenada  del punto de inflexión: 

Para obtener más información sobre el la representación de la función también es útil calcular los puntos de corte con el eje  resolviendo la ecuación . Una función de este tipo puede tener uno, dos o tres cortes con el eje .

Las funciones que cumplen que  cortan al eje  en sólo un punto. En este caso habrá que tener muy en cuenta el punto de inflexión para poder representarlas de forma correcta.

Las funciones que cumplen que  pueden tener uno, dos o tres puntos de corte pero su representación es la misma. En el caso de que obtengamos dos soluciones reales (dos puntos de corte por tanto) obliga a que una de ellas aparezca dos veces (por ejemplo, para  ocurre eso). En ese punto la función toca al eje  y cambia de monotonía, es decir, si antes crecía en ese punto pasa a decrecer y viceversa. El punto de inflexión no será tan relevante para éstas aunque siempre puede calcularse para asegurar más la representación.

Por todo esto la representación gráfica de las funciones polinómicas de grado tres comenzará viendo la relación entre  y  (con lo que sabremos la forma de la gráfica) y seguirá calculando las soluciones reales de la ecuación  (con lo que conoceremos cuántos puntos de corte tiene la función con ele eje ). En ese momento elegimos la representación correspondiente a la función que tengamos y hacemos que la función pase por esos puntos dándole la forma que nos indica la tabla, teniendo en cuenta el detalle del punto de inflexión en el caso en el que sea necesario. Sin olvidar, claro está, que si con todo esto no nos vemos capaces de realizar todavía la representación siempre podemos hacer una tabla de valores tomando valores a cada lado de los puntos de corte consiguiendo así más puntos que completen la información anterior.

Cualquiera que haya leído esta guía ha podido pensar: yo conozco representaciones que no vienen en el artículo. Por ejemplo ésta:

Esa representación no pertenece a una función. En realidad son dos funciones solapadas. La ecuación cuya representación es ésa es . Hay otra abierta hacia el otro lado y otras correspondientes a las de grado tres.

En general, las representaciones a las que me refiero corresponden a las ecuaciones  y . Como podéis ver son también polinomios de grados dos y tres pero con las variables cambiadas de sitios. ¿Cómo hacer esas representaciones? Pues la teoría explicada antes sirve también para éstas: los vértices se calculan igual, los puntos de inflexión también, el signo de la  influye de igual manera en la forma de la gráfica, etc. De todas formas una opción válida para representar gráficamente estas situaciones es la siguiente:

• Cambiamos las  por las . Por ejemplo, si nos encontramos consideramos , es decir, .
• Realizamos la representación de la que hemos considerado como hemos explicado antes.
• Giramos la gráfica  hacia la izquierda y dibujamos lo que resultaría de reflejar en un espejo lo que nos encontremos.

Con ésto tenemos ya la representación gráfica buscada.

3.4 CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS.

¿Para qué las funciones polinómicas?
	Cuando se recogen los datos de un experimento se obtiene una nube de puntos que hay que estudiar, en la imagen se ve cómo un programa ajusta esa nube a distintas funciones polinómicas, midiendo el error cometido en cada caso.

                                 

Características

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo, f(x)=3x⁴-5x+6.

En la escena se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3, que son las que se estudiarán en esta quincena. Escoge el grado y los coeficientes para ver gráficas de distintas funciones, observa la forma según su grado

• las de grado cero son rectas horizontales
• las de grado uno son rectas oblicuas
• las de grado dos son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas

Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.

2. Funciones de primer grado

Término independiente En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje-y o eje de ordenadas, es el punto (0, f(0)), por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas.  En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas Si f(x)=ax+b, su gráfica corta al eje OY en b Observa en la escena cómo al modificar el coeficiente de x, no cambia el corte de la gráfica en el eje OY 2. Funciones de primer grado Pendiente Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y esta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta. Si f(x)=ax+b, su pendiente es a Observa que cuando a es positiva la función es creciente, y cuando es negativa, decreciente. Así, viendo los coeficientes, sabemos cómo es la gráfica de la función sin necesidad de realizar ningún cálculo.  Funciones de primer grado Recta que pasa por dos puntos Para trazar  una recta basta con dar dos puntos, por tanto para representar una función polinómica de primer grado, dando valores, bastará con dar dos valores. Si dos puntos  (3 , 1) y  (5, 7) definen una recta, determinarán también su ecuación que podemos hallar resolviendo un sistema:                                                                                         La pendiente de la recta que pasa por  (x0, y0) y  (x1, y1) es  , es decir,  2. Funciones de segundo grado La parábola y=ax2 Observa en la animación cómo se construye la gráfica de f(x)=a·x2 y varía con los pulsadores el coeficiente de x2para ver como cambia la gráfica según los valores y el signo de a. f(x)=ax2  Es simétrica respecto del eje OY Si a>0 tiene un mínimo absoluto en (0,0) Si a<0 tiene un máximo absoluto en (0,0) El signo de a determina la concavidad de la gráfica.  Funciones de segundo grado Traslaciones de una parábola Al comienzo de la escena vemos la gráfica de  f(x)=ax2+bx+c Si modificamos b y c con los pulsadores, se observa que la gráfica no cambia de forma, solo se traslada, así la gráfica de y=f(x) tiene la misma forma que y=ax2trasladada -b/(2a) unidades en horizontal (hacia la derecha si   -b/(2a)>0, hacia la izquierda si -b/(2a)<0) c-b2/(4a) o f(-b/(2a)) unidades en vertical (arriba si f(-b/(2a))>0, abajo si f(-b/(2a))<0).      Explicación El eje de simetría de la gráfica de f(x)=ax2+bx+c  es x=-b/(2a) El vértice, máximo o mínimo, de la parábola es  (-b/(2a), f(-b/(2a)) Crecimiento El crecimiento de la parábola y=ax2+bx+c cambia en su vértice, es decir, en x=-b/(2a) Si a>0, la parábola es decreciente a la izquierda del vértice, en (- , -b/(2a)), y es creciente a la derecha del vértice. Si a<0, la parábola es creciente a la izquierda del vértice, en (- , -b/(2a)), y es decreciente a la derecha del vértice.  Funciones de segundo grado Representar funciones cuadráticas Al representar una función de segundo grado f(x)=ax2+bx+c  estamos obligados a colocar su vértice,  (-b/(2a), f(-b/(2a)).  Sigue los pasos indicados en la escena de la derecha y copia la representación en tu cuaderno. Al igual que en otras representaciones gráficas es interesante hallar los puntos de corte con los ejes, El corte con el eje de ordenadas es (0, c) Los cortes con el eje de abscisas existen si b2-4ac no es negativo y vienen dados por las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0 f(x)=ax2+bx+c . ..... .. a+ a- . .. Parábolas de eje paralelo al eje de ordenadas . El máximo o mínimo se denomina vértice de la parábola  3. Funciones de segundo grado Algunas aplicaciones Mediante las funciones polinómicas de segundo grado se pueden estudiar algunas situaciones, presentes en el mundo físico y la vida real. Además el vértice de la parábola, es el máximo o mínimo relativo y a la vez absoluto de la función cuadrática correspondiente; mínimo si es convexa (hacia arriba) o máximo si es cóncava hacia abajo. Entonces calcular los extremos relativos de estas funciones es sencillo, basta calcular las coordenadas del vértice, como puedes observar en los ejemplos de la escena.  3.5 PARAMETROS DE LAS FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS. Parámetros de las funciones de grado: cero, uno y dos. -La función constante.  La función de grado cero es la que se conoce como  función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició  con ella en el primer bloque; su forma es:    f(x)= a, donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a) -La función lineal.  La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen  es: y=mx+b Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera: f(x) = mx+b -La función cuadrática.  Las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2,  éstas se expresan en su forma general como f(x)= ax^2+bx+c ,con la  condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a ≠ 0)   La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que  aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando  carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no  aparece el término independiente se conocen como mixtas.