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BLOQUE V UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

5.1 CEROS Y RAICES DE LA FUNCION

CEROS Y RAÍCES

Raíces de un polinomio

Las raíces de un polinomio son los valores de la variable para los cuales la función polinomial toma el valor de cero. Dicho de otro modo, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación:

ƒ(x) = 0

Donde x es la indeterminada del polinomio y ƒ(x) es la función polinomial. Las raices de un polinomio pueden ser reales o complejas. En la gráfica de la función polinomial se identifican las raíces reales como las intersecciones con el eje x (aquellos valores en que la función vale cero).

Ejemplo. Verificar que las raices del polinomio x⁴ - 15x² + 10x + 24 son −4, −1, 2 y 3.

Para ello evaluamos la función polinomial para cada uno de los valores:

ƒ(−4) = (−4)⁴ - 15(−4)² + 10(−4) + 24
ƒ(−4) = 256 - 15(16) - 40 + 24 = 256 - 240 - 40 + 24
ƒ(−4) = 0

ƒ(−1) = (−1)⁴ - 15(−1)² + 10(−1) + 24
ƒ(−1) = 1 - 15(1) - 10 + 24 = 1 - 15 - 10 + 24
ƒ(−1) = 0

ƒ(2) = (2)⁴ - 15(2)² + 10(2) + 24
ƒ(2) = 16 - 15(4) + 20 + 24 = 16 - 60 + 20 + 24
ƒ(2) = 0

ƒ(3) = (3)⁴ - 15(3)² + 10(3) + 24
ƒ(3) = 81 - 15(9) + 30 + 24 = 81 - 135 + 30 + 24
ƒ(3) = 0

Con lo cual se comprueba que −4, −1, 2 y 3 sí son raíces del polinomio. Además, si graficamos la función polinomial se observa que el polinomio intersecta al eje x en los valores de las raíces.

5.2 TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESIDUO

TEOREMA DEL FACTOR

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. $x^2+6x+6$ ). Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio $P(x)$ tiene un factor $(x-k)$ si y sólo si $k$ es una raíz de $P(x)$ , es decir que $P(x)=0$ .

TEOREMA DEL RESIDUO

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).

Por ejemplo, si f(x) = x² + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 2² + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:

f(x) = (x-2)(x+3) + 4

Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).

El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 1² + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:

f(x) = (x-1)(x+2)

Como se muestra, (x-1) es un factor.

Teoremas del residuo y del factor.

Algoritmo de la división.

Para cada polinomio

de grado mayor o igual a uno y para cada número

, existe un polinomio único

de un grado menor que el de

y un número único R, tal que:

Al polinomio

se le denomina cociente,

en el divisor y R es el residuo.

Teorema del residuo. Si

es el residuo de dividir el polinomio

entre

, entonces

Demostración.

Como

por el algoritmo de la división, se tiene que si

O sea,

Ejemplo 7.

Hállese el residuo de dividir el polinomio

entre

Solución.

se puede escribir como

, por tanto

O sea que el residuo es 2.

Teorema del factor. Si

es un cero del polinomio

, entonces

es un factor de

Demostración.

es un cero de

Pero por el algoritmo de la división

Como

Por tanto,

Ejemplo 8.

Use el teorema del factor para probar que

es un factor de

Solución.

, así

Luego –1 es un cero de

Así

es un factor de

ejemplo.

Si se desea encontrar los factores de $x^3 + 7x^2 + 8x + 2$ , para ello se podría tantear un primer factor, $(x-a)$ . Si el resultado de sustituir $a$ en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es $(x-1)$ un factor? Para saberlo, se sustituye $x=1$ en el polinomio:

$x^3 + 7x^2 + 8x + 2 = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 + 2 = 1 + 7 + 8 + 2 = 18$

Cómo esta operación da 18 (y no 0), $(x-1)$ no es un factor de $x^3+7x^2+8x+2$ . Así que ahora se prueba con $(x+1)$ (sustituyendo $x=-1$ en el polinomio):

$(-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 2$ .

Que da como resultado 0. Por tanto, $x - (-1)$ , que es equivalente a $x+1$ , es un factor, y -1 es una raíz de $x^3 + 7x^2 + 8x + 2$ .

Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo $x^3+7x^2+8x+2$ entre $(x+1)$ para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera $\frac{x^3+7x^2+8x+2}{x+1}= x^2 + 6x + 2$

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

Calculo las raíces del polinomio:

Q(x) = x² − x − 6

Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 1² − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)² − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 2² − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 +2 +6 = 0

Q(3) = 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

x = −2 y x = 3 son las raíces o ceros del polinomio: P(x) = x² − x − 6, porque P(−2) = 0 y P(3) = 0.

P(x) = (x + 2) · (x − 3)

5.3 DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados

pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos

. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes nesesarios para todos los exponentes.

Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este método puede ser positivo o negativo.

5.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.

Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente P_n no puede ser igual a 0. SiP(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, queP(0) no es 0. Notar que esto significa que P₀ es distinto de 0, puesto que P(0)=P₀.

Sea C_r al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., C_r= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces C_r es: